Цепи периодического несинусоидального тока

Цепи периодического несинусоидального тока

Цепи несинусоидального периодического тока

Цепями периодического несинусоидального тока называются цепи токи в ветвях которых или напряжения на ветвях которых носят несинусоидальный периодический характер. Причинами возникновения в электрических цепях несинусоидальных периодических токов являются

1.Несовершенство (неидеальность) источников синусоидальных напряжений и токов.

2. Наличие в ветвях эл. цепей генераторов напряжений и токов специальной формы ( прямоугольной, пилообразной, трапециедальной и т.п.)

3. Наличие нелинейных элементов в ветвях эл. цепей.

1. Представление несинусоидальных напряжений и токов рядами Фурье

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию F ( w t ) удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

где К=1, 2, 3….или представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих с частотами целыми и кратными основной частоте w . При этом все амплитудные коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера -Фурье

; ;.

Для основных типов периодических функций, имеющих прямоугольную, треугольную, трапециевидную и др. формы, выражения для коэффициентов ряда Фурье приводятся в справочниках. Примеры разложений несинусоидальных периодических сигналов типовых форм приведены на рис.10.1.

В тех случаях, когда представить аналитически несинусоидальную функцию не представляется возможным или она задана в виде графика (или осциллограммы), амплитудные коэффициенты ряда можно получить графо-аналитически.

Этот метод основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. Для этого период функции f( w t)=f(x) разбивается на n равных отрезков D X=2 p /n, как показано на рис.10.2. и находятся значения функции f(x) в середине каждого интервала.

После этого вычисляют коэффициенты ряда по формулам

; ; ,

где f p (x), Cos p kx , Sin p kx -значение функции f(x), Cos kx и Sin kx в середине р-го интервала или

f p (x)= f(x) Ѕ x=(p-0.5) D x, Cos p kx= Coskx Ѕ x=(p-0.5) D x, Sin p kx= Sinkx Ѕ x=(p-0.5) D x.

После тривиальных преобразований ряд (10.1) можно переписать в виде

,

где , .

Таким образом после разложения аналитического или графо-аналитического периодические несинусоидальные ток и напряжение можно представить в виде

i = I 0 + I 1m sin( w t + y i 1 ) + I 2m sin(2 w t + y i 2 ) + ј + I rm sin(k w t + y i k ))+ ј , (10.3)

u = U 0 + U 1m sin( w t + y u1 ) + U 2m sin(2 w t + y u2 ) + ј + U km sin(k w t + y uk ))+ ..10.4)

Первыe члены рядов (10.3) и (10.4) ( I 0, U 0 ) называются постоянными составляющими или нулевыми гармоникми. Вторые члены I 1m sin( w t + y i 1 ) и U 1m sin( w t + y u1 ) имеют частоту равную частоте несинусоидальной периодической функции f( w t ) и называются первыми или основными гармоническими составляющими (коротко — гармониками). Остальные члены ряда вида A k sin( k w t + y k ) имеют частоты в целое число раз k больше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками . Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k , т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

2. Мгновенные, средние и действующие значение несинусоидальных периодических величин.

Выражение (10.3) и (10.4) характеризуют мгновенные значения несинусоидальных тока и напряжения.

При несинусоидальных периодических токах и ЭДС в электрической цепи возможно ввести понятия действующих значений аналогично тому, как это было сделано для синусоидальных величин.

Действующее значение тока I определяется через мгновенные значения как

Если представить периодический несинусоидальный ток в виде (10. 3 ) и подставить в (10.5), то после интегрирования получим

Следовательно, действующее значение несинусоидального периодического тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Проведя аналогичные выкладки, можно получить выражения для действующих значений ЭДС и падения напряжения в виде

,

.

Средние за период значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно ( 10. 3 ) и (10.4 ), то

.

Как видно, средние за период значения несинусоидальных периодических величин равны их постоянным составляющим.

Средние по модулю или средние за положительный полупериод значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно (10. 3 ) и (10.4 ), то

.

3. Оценка формы кривых несинусоидальных периодических величин

Как уже упоминалось выше, реальные источники электрической энергии в силу конструктивных особенностей формируют ЭДС и токи, отличающиеся от синусоидальных. Чаще всего эти величины симметричны, т.к. симметрична конструкция электромеханических генераторов, и не содержат четных гармоник.

Для оценки формы симметричных кривых используют коэффициенты формы k f , амплитуды k A и искажений k d .

Под коэффициентом формы k ф понимают отношение действующего значения к среднему значению, взятому за положительную полуволну, т.е.

Читайте также:  Как сменить ярлык папки

K ф = U /U ср мод.

Для синусоидальных величин k ф » 1.11.

Под коэффициентом амплитуды k A понимают отношение амплитудного значения несинусоидальной величины к действующему, т.е.

(для синусоиды это значение равно 1.414)

Коэффициент искажений k и это отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению несинусоидальной кривой, т.е.

Поскольку идеальных синусоидальных величин практически не бывает, то в технике существует понятие практически синусоидальных кривых. Форма кривой считается практически синусоидальной, если все ее ординаты отличаются от ординат первой гармоники не более, чем на 5%. При этом количество контрольных точек должно быть не менее 12.

4. Мощность в цепях несинусоидального тока

Определим теперь среднюю мощность P в цепи при несинусоидальных токах и напряжениях. Она всегда может быть выражена в виде

Подставляя в это выражение напряжение и ток, представленные выражениями (10. 3 ) и ( 10. 4 ), получим

P=U 0 I 0 + U 1 I 1 Cos j 1 +…+ U k I k Cos j k +…,

где j k = y uk — y i k -фазовый сдвиг между к-ми гармониками напряжения и тока.

Из выражения (10.7) следует, что средняя или активная мощность в цепи с несинусоидальными токами и напряжениями равна сумме средних или активных мощностей отдельных гармоник .

По аналогии с цепями синусоидального тока можно ввести понятие полной или кажущейся мощности как произведение действующих значений тока и напряжения S = UI , тогда отношению P /( UI ) можно придать смысл коэффициента мощности cos j э .

Выражение нормально справедливо для некоторой электрической цепи синусоидального тока, в которой протекает ток с действующим значением I и существует падение напряжения U . При этом в цепи выделяется активная мощность P . Следовательно, при изучении некоторых явлений несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих, можно заменить эквивалентными им по действующему значению синусоидальными со сдвигом фаз между ними j э , соответствующим коэффициенту мощности несинусоидальных величин .

Для цепи несинусоидального тока реактивную мощность определить формально по аналогии с активной мощностью в виде

Q = U 1 I 1 sin j 1 + U 2 I 2 sin j 2 + ј + U k I k sin j k + FACE="Symbol" SIZE=4>ј

Без доказательства отметим, что в цепях несинусоидального тока не существует связи между активной, реактивной и полной мощностью в виде треугольника мощностей , т.е..

5. Расчет линейных ЭЦ с источниками периодических несинусоидальных напряжений и токов

Если все элементы электрической цепи с несинусоидальными токами и напряжениями линейны, т.е. параметры элементов не зависят от токов и падений напряжения, то анализ электромагнитных процессов в них можно проводить, используя разложение в ряды Фурье.

Расчет цепи при несинусоидальных токах проводится аналогично расчету при синусоидальных, но он должен выполняться отдельно для каждой гармоники, т.е. алгоритм расчета следующий:

-представить действующую в цепи ЭДС или ток рядом Фурье

-любыми методами расчета цепей синусоидального тока произвести расчет отдельно для каждой гармоники спектра;

-по полученному спектру искомых величин найти требуемые значения.

Пусть требуется найти активную мощность в цепи на рис.10.3 , где приложенное напряжение равно u ( t )=10+20sin(1000 t — 30 ° )+5sin(3000 t +45 ° ) В, а параметры элементов R = 20 Ом, C = 50 мкФ и L = 5 мГн.

Спектр приложенного напряжения содержит постоянную составляющую или нулевую гармонику, а также первую и третью гармоники.

Реактивные сопротивления цепи зависят от частоты. Для k -й гармоники их можно представить через сопротивления на частоте основной гармоники в виде

X Lk =k w 1 L=kX L1 ; X Ck =1/k w 1 C=X c1 /k;

где x L 1 = w 1 L = 5 Ом и x C 1 = 1/( w 1 C ) = 20 Ом — индуктивное и емкостное сопротивления на частоте основной гармоники. При расчете реактивных сопротивлений можно формально считать постоянную составляющую нулевой гармоникой. При этом x L 0 = 0, а x C 0 = µ , что соответствует отсутствию этих элементов и вполне согласуется с теорией цепей постоянного тока, где в статических режимах реактивных элементов нет.

Общее комплексное сопротивление цепи на частоте k -й гармоники будет

Подставляя в это выражение значения k = 0, 1, 3, получим значения общих комплексных сопротивлений на всех гармониках в виде Z 0 = 20 Ом ; Z 1 = 10 — j 5 Ом ; Z 3 = 2+ j 9 Ом . Из этих выражений видно, что комплексные сопротивления на разных частотах могут иметь реактивную составляющую разного знака. Отсюда комплексные значения токов — I 0 = U 0 / Z 0 = 10/20 = 0.5 А;

m 1 = m 1 / Z 1 = 20 e — j 30 ° /(10 — j 5) = 1.78 e — j 3.4 ° А; m 3 = Um 3 / Z 3 = 5 e j 45 ° /(2+ j 9) = 0.54 e — j 32.4 ° А.

Полученные комплексные значения составляющих спектра токов можно представить рядом Фурье в виде

i = 0.5+1.78sin(1000 t — 3.4 ° )+0.54sin(1000 t — 32.4 ° ) А.

Читайте также:  Теплый дом из профилированного бруса

Теперь можно определить активную мощность в цепи как

P=U 0 I 0 + U 1 I 1 Cos j 1 + U 3 I 3 Cos j 3 =

10 ґ 0.5+ (20 ґ 1.78/2) ґ Cos[-30 o –(-3.4 o )]+ (5 ґ 0.54/2) ґ Cos[45 o –(-32.4 o )]=22.2 Вт

Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Они возникают при четырех различных режимах работы электрических цепей (и при сочетаниях этих режимов):

1) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктивные и емкостные — линейны, т. е. от тока не зависят;

2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны;

3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов;

4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени.

В данной главе рассматриваются методика расчета и особенности работы линейных электрических цепей при воздействии на них несинусоидальных ЭДС и токов — первый из перечисленных режимов работы. Второй и частично третий режимы работы обсуждаются в гл. 15, четвертый — в гл. 18.

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  • в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  • в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1. Максимальное значение — .
  2. Действующее значение — .
  3. Среднее по модулю значение — .
  4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — .
  5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — .
  6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — .
  7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — .
  8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — .

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

. (1)

Здесь — постоянная составляющая или нулевая гармоника; — первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

;

.

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

Читайте также:  Планшет тормозит в интернете

    Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
  1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
  4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Ответ: .

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Ссылка на основную публикацию
Цветник цветущий с весны до осени
Узнайте, как выращивать красивые цветущие многолетники для роскошной клубы цветущей все лето. Какие хитрости и секреты применяют цветоводы, чтобы клумба...
Холодильник на утепленном балконе
Холодильник, функционирующий на балконе Когда ваша квартира не отличается большими размерами, и на кухне приходится экономить каждый квадратный сантиметр, поневоле...
Холодильник под кухонный гарнитур
Холодильник – самая незаменивая ведь на кухне. Как поставить данный предмет так, чтобы сохранить стилистическое единство помещения, сделать обстановку наиболее...
Цветные клеевые стержни для термопистолета
На сайте продавца доступен "Онлайн консультант".Для перехода на сайт нажмите "В магазин" На сайте продавца доступен "Онлайн консультант".Для перехода на...
Adblock detector